失業手当ての受給資格について質問です。

失業手当ての受給資格について質問です。
２月で退職した会社に、先日３日間だけアルバイトをしました(当方はアルバイトのつもりでした)

３日分の給料をどうするか会社に聞いたところ、請求書を出すように言われました。

請求書を出すという行為は個人事業の開始と取られますか？
３月末に引っ越すため、引っ越し後に失業手当てを受給しながらじっくり就職先を探そうと思っているのですが、受給に差し障るか教えていただけますとありがたいです。

その程度であれば自営開始とは見なしません。ただの就労です。申告すれば問題ありません。
自営開始とは通常、事務所確保のための手付け金を払ったとか、役所に事業開始の申請を出したとか、商品仕入れの契約書を取り交わしたとか、そういう後戻りできないレベルに達したことをいいます。

3日分のバイト代にかかる明細書とか、そのバイト代の計算根拠となる出勤簿のコピーとか、証明になるものが会社からもらえるなら全部もらい、捨てずにとっておいてください。
ハローワークに申告するときの証明書類になりますので。

失業手当てについて。内定
会社に内定が決まっても失業手当はもらえるのでしょうか？まだはっきり入社日は決まってないのですが。

雇用保険の求職者給付の基本手当のことですね。
実際に内定した企業で仕事に就く前日までもらえます。

但し、この手当は求職者に支払われる手当ですので、失業していることと、仕事を探している（就職活動）ことが条件になります。
つまりは、現在から仕事に就くまでの間、内定はしてても就職活動はしなければならないことになります。

でも現状は、それほど固く考えないで
前回の認定日から、仕事に就く前日までの間に２回以上ハローワークでパソコンでの閲覧をして、証明印をもらうだけで就職活動になります。（前回の認定日から仕事に就くまでの日数により、就職活動の日数は違います）

給付の残り日数がたくさん残っている場合は再就職手当が支給されます（条件による）ので、ハローワークで相談されたらいいです。

私も給付日数が残っていて、ハローワークに相談したら内定が決まっていても就職活動(閲覧）を続けてもらえばいいですよ。と返事をもらいました。

【参考】
内定した企業に初めて出社日（最初の勤務日）の前日（土日祝を除く）に必ずハローワークに手続きにいきましょう。
ただし、最初の勤務日の前々日までに給付期間が満了する場合は、特に不要です。最終の認定日に内定したことをハローワークに言えばいいだけです。そのときは内定先の企業名、ＴＥＬ、住所などを尋ねられます）

履歴書に、正社員登用前提の短い試用期間の職歴も記入すべきでしょうか？
現在、正社員登用前提の試用期間中でアルバイト待遇です。転職活動を再開しようと考えていますが、
履歴書に短い試用期間の職歴も記入すべきでしょうか？
試用期間中で辞めるのはマイナスになると思うので、できれば記入したくないのですが、保険未加入で、ハローワークには雇用証明書等提出済みなので、記入をせずにいると、後から分かってマズイ事になりますか？

後からバレてしまうとまたややこしいことになると思います。

なので、書いておいて、絡まれたらやめた理由をはっきり言ってやった方がいいと思いますよ。